リーマンと数論

書籍情報
シリーズ名リーマンの生きる数学 全4巻 【1】巻
ISBN978-4-320-11234-6
判型A5 
ページ数224ページ
発行年月2016年12月
本体価格4,000円
リーマンと数論 書影
リーマンと数論

2016年,歿後150年を迎えてなお,その業績がまったく色褪せない偉大なる数学者,ベルンハルト・リーマン。
その多岐にわたる活動を,数論・解析・幾何・思想の4つの観点から解説する新シリーズ刊行!

 ベルンハルト・リーマンは,19世紀に活躍した数学者である。1826年に生まれ,1866年に39歳で亡くなった。2016年,歿後150年を迎えたが,今でもなお,リーマンの業績は現代数学に生き生きと現れる。その名を冠した概念は,リーマン予想を始めとして,リーマンのゼータ関数,リーマン幾何学,リーマン多様体,リーマン面,リーマン積分,コーシー・リーマンの方程式など,分野を超えて,多岐にわたって現れており,まさに偉大な数学者といえよう。本シリーズでは,リーマンの活動を,4つの観点から解説していく。
 その皮切りとなる本書では,ゼータ関数やリーマン予想を中心とした,数論におけるリーマンの業績を解説する。リーマンの数論に関する論文は,1859年に出されたゼータ関数論に関する1編のみであるが,今もって未解決のリーマン予想が提示されており,現代数学にもなお多大な影響を与えている。
最初に,簡単な場合におけるゼータ関数を解説する。簡単とはいえ,リーマン予想の解決にも重要となるような概念が多く含まれている。次に,ピタゴラスから始まり,オイラー,ディリクレらの,リーマン以前の数論研究を解説する。そして主題である,リーマンの数論研究を解説する。最後に,リーマンの研究がその後の数論研究に与えた多大なる影響を,19世紀,20世紀,21世紀と,順を追って解説する。
 リーマンの数論における業績を理解することはもとより,数論研究のこれまでの流れを捉え,また数論研究のこれからをも見据えることができる,まさに格好の書となろう。

目次

第I部 簡単なゼータ関数

第1章 有限ゼータ関数
1.1 有限リーマンゼータ関数
1.2 有限メビウスゼータ関数

第2章 行列の整数ゼータ関数
2.1 整数ゼータ関数
2.2 テンソル積構造
2.3 置換ゼータ関数

第3章 行列の実数ゼータ関数
3.1 実数ゼータ関数
3.2 テンソル積構造
3.3 絶対ゼータ関数


第II部 リーマンと先達

第4章 オイラー以前
4.1 ピタゴラス
4.2 オレーム
4.3 マーダヴァ
4.4 オイラー
4.5 オイラーのゼータ関数論

第5章 ディリクレ
5.1 ディリクレ
5.2 ディリクレのゼータ関数論

第6章 リーマン
6.1 リーマン
6.2 リーマンのゼータ関数論
6.3 リーマンの素数公式
6.4 リーマン予想
6.5 リーマンと双対性


第III部 リーマンの影響

第7章 19世紀
7.1 メルテンス
7.2 フォン・マンゴルト
7.3 素数定理

第8章 20世紀
8.1 ゼータ関数の行列式表示
8.2 合同ゼータ関数
8.3 セルバーグゼータ関数

第9章 21世紀
9.1 絶対数学と絶対ゼータ関数
9.2 深リーマン予想