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結び目の不変量

書籍情報
シリーズ名共立講座 数学の輝き 全40巻予定 【4】巻
ISBN978-4-320-11198-1
判型A5 
ページ数288ページ
発行年月2015年06月
本体価格4,000円
結び目の不変量 書影
結び目の不変量

 ひもを結ぶと,結び目ができる。結び目に対して定められる値で,結び目を変形することに関して不変であるようなものを不変量という。不変量を用いて,様々な結び目のタイプを区別することができる。
 1980年代を境に,数理物理的手法がトポロジーに導入されて,3次元トポロジーにおいては膨大な数の不変量が発見され,その豊かな世界が改めて明らかになった。また,結び目の不変量をめぐる研究は,数理物理や量子群やKZ方程式などのさまざまな周辺分野と関連して大きな広がりを持っており,その研究分野は量子トポロジーとよばれている。
本書では,量子トポロジーにおける様々な結び目の不変量やこれに関連するトピックについて初歩から最先端の内容までを解説し,「結び目の不変量」の豊かさや広がりを紹介する。

目次

第1章 絡み目のジョーンズ多項式
1.1 結び目と絡み目とそれらの図式
1.2 ジョーンズ多項式

第2章 組みひも群とその表現
2.1 組みひもと組みひも群
2.2 組みひも群の表現と絡み目の不変量

第3章 タングルとそのオペレータ不変量
3.1 タングル
3.2 有向タングルのオペレータ不変量

第4章 量子群
4.1 リボンホップ代数
4.2 枠つき絡み目の普遍 A 不変量
4.3 リボンホップ代数に由来するタングルのオペレータ不変量
4.4 量子群Uq(sl2)

第5章 KZ方程式
5.1 KZ方程式から得られる組みひも群の表現
5.2 KZ方程式のモノドロミーの計算
5.3 配置空間のコンパクト化
5.4 モノドロミー表現の組合せ的な再構成

第6章 絡み目のコンセビッチ不変量
6.1 ヤコビ図
6.2 KZ方程式から導かれるコンセビッチ不変量の定義
6.3 コンセビッチ不変量の組合せ的な再構成
6.4 量子不変量に対するコンセビッチ不変量の普遍性

第7章 結び目のバシリエフ不変量
7.1 バシリエフ不変量の定義と基本的な性質
7.2 バシリエフ不変量に対するコンセビッチ不変量の普遍性

第8章 絡み目の多項式不変量の圏化
8.1 コホモロジー代数の準備
8.2 ホバノフホモロジーの定義
8.3 ホバノフホモロジーの不変性

第9章 結び目と曲面結び目のカンドルコサイクル不変量
9.1 カンドル
9.2 結び目カンドル
9.3 カンドルのコホモロジー
9.4 結び目のカンドルコサイクル不変量
9.5 結び目のシャドーコサイクル不変量
9.6 曲面結び目のカンドルコサイクル不変量

第10章 結び目のコンセビッチ不変量のループ展開
10.1 コンセビッチ不変量の性質
10.2 開ヤコビ図
10.3 コンセビッチ不変量のループ展開

第11章 体積予想
11.1 双曲幾何
11.2 結び目補空間の理想4面体分割
11.3 結び目補空間の双曲構造
11.4 結び目のカシャエフ不変量とカシャエフ予想