リーマン面と代数曲線

書籍情報
シリーズ名共立講座 数学の輝き 全40巻予定 【2】巻
ISBN978-4-320-11196-7
判型A5 
ページ数272ページ
発行年月2015年06月
本体価格4,000円
リーマン面と代数曲線 書影
リーマン面と代数曲線

 リーマン面の理論において最初の,そして最も重要な到達点は有理型関数の存在定理である。代数幾何学的に代数曲線として扱ってしまえば,最初から沢山の有理(型)関数が与えられるので,この肝心の部分が見えなくなってしまう。本書で結果的に,代数曲線としての記述よりも解析的な閉リーマン面としての立場を優先しているのは,まさにこのためである。現在では層係数コホモロジーを用いてリーマン・ロッホの定理を先に証明し,その系として有理型関数の存在を示すやり方が一般的になっているようだが,ここではより原初的なアプローチをとる。
 このようにして,まず非定数有理型関数の存在を示し,それを起点としてリーマン・ロッホの定理,アーベルの定理,ヤコビの逆問題を論じ,自己同型群に関するフルヴィッツの定理や周期写像の単射性を主張するトレリの定理に至る。また,1変数代数関数体,閉リーマン面,非特異射影曲線の「三位一体」も一方の主題である。閉リーマン面の複素射影空間への埋め込みについては,カステルヌオーヴォー理論を含めて詳しく述べた。

(序文より抜粋)

目次

第1章 リーマン面と正則写像
1.1 リーマン面
1.2 正則関数と有理型関数
1.3 解析的形成体
1.4 被覆写像
1.5 基本群

第2章 リーマン面上の積分
2.1 微分形式
2.2 ストークスの定理
2.3 調和微分,正則微分,有理型微分
2.4 再論:閉微分の線積分
2.5 単純閉曲線に随伴する微分

第3章 有理型関数の存在
3.1 直交分解
3.2 ワイルの補題
3.3 有理型関数の存在

第4章 代数関数のリーマン面
4.1 閉リーマン面の有理型関数体
4.2 代数関数のリーマン面
4.3 代数関数体の付値
4.4 楕円曲線上の有理型関数

第5章 アーベル積分の周期
5.1 閉リーマン面の種数
5.2 閉リーマン面の基本群
5.3 交点数とホッジ分解
5.4 正則微分の周期
5.5 周期行列
5.6 有理型微分の周期

第6章 リーマン・ロッホの定理
6.1 因子
6.2 線形同値な因子
6.3 リーマン・ロッホの定理
6.4 簡単な応用
6.5 アーベルの定理
6.6 ヤコビの逆問題

第7章 線形系と射影埋め込み
7.1 複素射影空間
7.2 線形系
7.3 カステルヌオーヴォーの種数上限
7.4 標準写像
7.5 標準環

第8章 自己同型群
8.1 空隙値とワイエルシュトラス点
8.2 正則自己同型群の有限性
8.3 フルヴィッツの上限

第9章 トレリの定理
9.1 リーマンのテータ関数
9.2 テータ関数の零点
9.3 トレリの定理

付録A 閉曲面の分類

付録B 一般の位置定理

付録C ピュイズー級数

付録D リーマン・ロッホの定理
D.1 層と層係数コホモロジー
D.2 セール双対律とリーマン・ロッホの定理