微分積分

書籍情報
シリーズ名共立講座 数学探検 全18巻 【1】巻
ISBN978-4-320-11174-5
判型A5 
ページ数494ページ
発売日2017年09月13日
本体価格2,400円
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微分積分

新刊

 本書は大学の理科系学部生を対象とした微分積分学入門である。極限の厳密な定義から出発し,一変数の微積分を丁寧に解説した後,多変数の微積分の基礎まで進む。本書の全体的な方針は次のように要約できる:

 抽象的な概念や定理が出てくるごとに,それらの意味を,具体例を通じ一歩一歩踏み固めながら進む。また,練習問題を通じ,読者自らが頭と手を動かし,概念や定理の使い方に慣れ親しめるようにする。

 また,本書の特徴として次の点を挙げる:

 厳密性,一般性をできるだけ確保すると同時に,抽象論に偏らず,できるだけ早い段階で具体例,特に指数関数,三角関数などの代表的初等関数を導入し,それらを丁寧に論じる。

 厳密な論理の美しさが分かりやすく伝わるように工夫すると同時に,応用分野との関連,微積分学の歴史にも適宜触れる。初学者から教員まで,様々な目的で本書を手にとられる方々が,それぞれの立場で楽しんで頂ける本である。

目次

第1章 準備
1.1 論理・集合・写像
1.2 数
1.3 いくつかの等式・不等式
1.4 関数

第2章 連続公理・上限・下限
2.1 連続公理とアルキメデス性
2.2 上限・下限の性質
2.3 関数の上限・下限

第3章 極限と連続I
3.1 極限とは?
3.2 順序・演算と極限
3.3 閉集合
3.4 中間値定理
3.5 単調列定理と区間縮小法

第4章 多変数・複素変数の関数
4.1 RdとC
4.2 点列・複素数列
4.3 関数の極限
4.4 関数の連続性

第5章 級数
5.1 定義と基本的性質
5.2 絶対収束・条件収束
5.3 級数の収束判定
5.4 べき級数

第6章 初等関数
6.1 指数・対数関数
6.2 正数の複素数べき
6.3 凸性
6.4 双曲・三角関数
6.5 円周率と三角関数
6.6 正接
6.7 逆三角関数
6.8 *対数の主値

第7章 極限と連続II―微分への準備
7.1 最大・最小値存在定理I(一変数関数)
7.2 *ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理I(一次元)と定理7.1.1の証明
7.3 *片側極限・片側連続性

第8章 一変数関数の微分
8.1 一変数関数の微分
8.2 高階微分
8.3 平均値定理
8.4 微分による関数の増減判定
8.5 逆関数の微分
8.6 原始関数
8.7 *べき級数の微分
8.8 *一般二項展開
8.9 *片側微分

第9章 *極限と連続III―積分への準備
9.1 閉集合
9.2 最大・最小値存在定理II(多変数関数)
9.3 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理II(多次元)と定理9.2.1の証明
9.4 一様連続性

第10章 積分の基礎
10.1 積分の定義(一次元)
10.2 積分の定義(多次元)
10.3 積分の性質
10.4 連続関数の積分
10.5 *ダルブーの定理・ダルブーの可積分条件
10.6 *ダルブーの定理・ダルブーの可積分条件を用いたいくつかの証明

第11章 微積分の基本公式とその応用
11.1 不定積分
11.2 原始関数と不定積分
11.3 置換積分・部分積分
11.4 テイラーの定理

第12章 広義積分
12.1 広義積分とは?
12.2 広義積分の収束判定
12.3 置換積分と部分積分
12.4 ガンマ関数・ベータ関数I
12.5 *ガンマ関数・ベータ関数II

第13章 多変数関数の微分
13.1 全微分と偏微分
13.2 連鎖律
13.3 高階の偏微分
13.4 極値点・臨界点
13.5 二次形式
13.6 ヘッシアンによる極大・極小の判定
13.7 *条件付き極値問題I
13.8 *条件付き極値問題II

第14章 *逆関数・陰関数
14.1 逆関数定理
14.2 陰関数定理
14.3 逆関数定理・陰関数定理の証明

第15章 多変数関数の積分
15.1 逐次積分
15.2 体積確定集合I
15.3 *体積確定集合II
15.4 断面による逐次積分
15.5 変数変換公式とその応用
15.6 *変数変換公式(定理15.5.1)の証明
15.7 多変数関数の広義積分
15.8 広義積分に対する変数変換公式

第16章 *収束の一様性
16.1 一様収束と局所一様収束
16.2 関数項級数
16.3 関数列の微分・積分
16.4 径数付き積分
16.5 関数列の広義積分

A *付録
A.1 上極限・下極限
A.2 コーシーの収束条件

問の略解

記号表

参考文献

索引

(本書の内容を「骨格」に相当する必修部分と,「肉づけ」に相当するより進んだ内容とに区分し,後者には*をつけた.)