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Aha! ひらめきの幾何学―アルキメデスも驚くマミコンの定理― 

書籍情報
ISBN978-4-320-11138-7
判型B5 
ページ数224ページ
発行年月2016年08月
本体価格3,500円
Aha! ひらめきの幾何学 書影
Aha! ひらめきの幾何学

微積分は,数多くのきらびやかな応用があるみごとに整備された学問領域である。微積分のよくある問題の多くが,その公式を使うことなく,画期的な視覚的方法によって簡単に解けると知ったら,この数学の重要な一分野に馴染みの深い人なら誰もが驚くことだろう。本書は,マミコンの定理によって(微積分を使わず),さまざまな平面領域の面積が幾何学的に求められることを示す。読者は,マーチン・ガードナーが言うところの“Aha!”(閃き)の瞬間を満喫できるであろう。[本文4色刷]
(Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian: New Horizons in Geometry, Mathematical Association of America, 2014)

目次

第1章 マミコンの接線掃過定理
1.1 はじめに
1.2 マミコンの定理誕生のきっかけ
1.3 球殻の断面への応用
1.4 平面曲線に対する定長の接線掃過および接線団
1.5 可変長の接線掃過と空間曲線
1.6 牽引曲線への適用
1.7 接線影を用いた平面曲線の接線の作図
1.8 指数曲線
1.9 双曲線が切り出す領域
1.10 放物線が切り出す領域
1.11 正実数のべき乗関数
1.12 一般の負のべき乗関数
1.13 負のべき乗関数に対する別のアプローチ
1.14 マミコンの定理の逆向きの適用
1.15 蝸牛線への応用
1.16 物理学への応用

第2章 サイクロイドとトロコイド
2.1 はじめに
2.2 サイクロイド冠の面積(補題2.1 の証明)
2.3 サイクロイド扇の面積(定理2.1 の証明)
2.4 外転(内転)サイクロイド冠と外転(内転)サイクロイド扇
2.5 サイクロイドの動径集合と縦線集合の面積
2.6 一般のトロコイド冠およびトロコイド扇の面積
2.7 定理2.8 の応用
2.8 サイクロイドの面積に関する結果
2.9 外転サイクロイド冠および内転サイクロイド冠の面積

第3章 サイクロゴンとトロコゴン
3.1 はじめに
3.2 サイクロゴン
3.3 正多角形が生成するサイクロゴンアーチの面積
3.4 トロコゴン:サイクロゴンの一般化
3.5 特別なトロコゴン
3.6 サイクロゴンアーチの弧長
3.7 外転サイクロゴンおよび内転サイクロゴンの弧長
3.8 いくつかの特別なトロコゴン
3.9 部分的なトロコゴン
3.10 インボリュートゴンの弧長と面積
3.11 自己サイクロゴンの面積と弧長
3.12 楕円的懸垂線,双曲的懸垂線,放物的懸垂線
3.13 垂足曲線とシュタイナーの定理
3.14 弧長および面積の簡約公式

第4章 外接形と外接体
4.1 はじめに
4.2 外接形
4.3 外接環
4.4 外接領域の重心
4.5 外接環の重心
4.6 3 次元への拡張
4.7 よく知られた外接体の例
4.8 外接体の構成部品
4.9 定理4.13 の応用
4.10 最適外接形と最適外接体
4.11 同じ内接球をもつ円錐と円柱の相貫体
4.12 外接体の重心
4.13 外接殻
4.14 外接殻の重心

第5章 切り欠きつき容器の方法
I:アルキメデス球体
5.1 はじめに
5.2 球の体積
5.3 球殻の体積
5.4 アルキメデス球体の体積
5.5 アルキメデス殻の体積
5.6 アルキメデス球体の表面積
5.7 体積と表面積がともに等しく合同でない立体
5.8 正弦曲線の積分
5.9 重心への応用
II:アルキメデスドームの一般化
5.10 可約な立体
5.11 多角楕円ドームと多角楕円殻
5.12 一般の楕円ドーム
5.13 非均質楕円ドーム
5.14 体積と重心の公式
5.15 側面線が楕円形になる条件

第6章 新たなつり合い原理とその応用
6.1 はじめに
6.2 平面上でつり合う正外接形
6.3 つり合い・回転体原理と外接体
6.4 積率・楔形原理と円柱から切り出された楔形
6.5 球面および円柱の一部分のつり合い
6.6 高次元のつり合い原理
6.7 n 次元球体とn 次元柱状体
6.8 n 次元へのさらなる拡張と応用
6.9 重心の公式
6.10 n 次元球体とその外接体

第7章 付録
7.1 放物線が切り出す切片
7.2 高次のべき乗関数への一般化
7.3 微積分を用いた牽引曲線の扱い
7.4 不定積分の幾何学的導出
7.5 指数曲線と牽引曲線の驚くべき関係
7.6 一般の自転車の車輪の軌跡
7.7 牽引曲線の変種
7.8 断層撮影法に対する幾何学的アプローチ
7.9 マミコンの定理の証明
7.10 アルキメデスのてこの原理
7.11 距離の平方の和が一定の軌跡